На Kaspi Travel можно купить авиабилеты в другую страну без паспорта?

Да. Граждане Казахстана могут купить авиабилеты по удостоверению личности в Россию, Кыргызстан и Армению. Для детей до 16 лет заграничный паспорт нужен при оформлении авиабилета в любую страну.
 

Для остальных международных рейсов загранпаспорт потребуется и взрослым, и детям.