Самозанятому нужно выбивать чеки в e-Salyk, если он принимает оплату в приложении Kaspi.kz?

Нет. Сразу после приема оплаты сервис автоматически формирует электронные чеки и отправляет в налоговую — чтобы были соблюдены все требования законодательства.